Олімпіада 2020

 

6 клас

1. З’ясуйте, чи ділиться сума чисел  1 + 2 + 3 + ...+ 2015 + 2016 + 2017 на 2017? Відповідь обґрунтуйте.

2. Чебурашка та Крокодил Гена з’їли торт. Чебурашка їв удвічі повільніше за Крокодила Гену, але почав їсти на хвилину раніше. З’ясувалося, що вони з’їли порівну. За який час Чебурашка сам з’їв би цей торт?

3. В аеропорту «Бориспіль» є горизонтальна рухома доріжка довжиною 500 метрів, яка переміщує пасажирів зі швидкістю 4 км/год. Тетяна та Оксана одночасно заходять на цю доріжку, причому Тетяна йде доріжкою зі швидкістю 6 км/год, а Оксана стоїть на місці. З’ясуйте, якою буде відстань між дівчатами, коли Тетяна дійде до кінця доріжки? Відповідь обґрунтуйте.

4. У даний момент сім'я складається з батька, матері та сина. Сума років усіх членів сім'ї дорівнює 65. Чотири роки тому батько був старший за сина в
9 разів. Дев’ять років тому сума років усіх членів сім'ї дорівнювала 40. З’ясуйте, скільки років батькові? Відповідь обґрунтуйте.

5. У клітинки квадрата 33 по одному записані числа 1, 2, …, 9 так, що сусідні числа стоять у суміжних по стороні клітинках. Відомо, що сума чотирьох чисел, що стоять у кутах квадрата, дорівнює 18. З’ясуйте, яке число записано всередині? Відповідь обґрунтуйте.

7 клас

1. Дільник натурального числа називається власним, якщо він не дорівнює самому числу та більший за 1. Знайдіть усі такі натуральні числа, у яких найбільший власний дільник на 2017 більший за найменший власний дільник.

2. Знайдiть усi такi двоцифровi натуральнi числа N, якi дорiвнюють сумi цифр числа N до якої додається куб суми цифр числа N. Відповідь обґрунтуйте.

3. У даний момент сім'я складається з батька, матері та сина. Сума років усіх членів сім'ї дорівнює 65. Чотири роки тому батько був старший за сина в
9 разів. Дев’ять років тому сума років усіх членів сім'ї дорівнювала 40. З’ясуйте, скільки років батькові? Відповідь обґрунтуйте.

4. Квадрат розрiзаний на 4 однакових прямокутники та 1 квадрат (рис. 1). Вiдомо, що площа меншого квадрата дорiвнює 16, а площа кожного прямокутника – 96. Визначiть сторони прямокутника.

9 клас

1. На дошці записані числа 1, 3, 6 та 10. На кожному кроці можна витерти будь-які два з написаних чисел a, b і записати замість них числа a+b та ab. З’ясуйте, чи можна при цьому отримати на дошці числа 2016, 2017, 2019, 2022? Відповідь обґрунтуйте.

2. У трапеції ABCD з основами AD і BC , AD > BC , діагоналі AC і BD перетинаються в точці E. Дотична до описаного кола трикутника BCE, проведена в точці E , перетинає пряму AD в точці F так, що точка D лежить між точками A і F . Відомо, що AF = a , AD = b . Знайдіть довжину відрізка EF .

3. Маємо дошку з 2016 рядків та 2017 стовпчиків. З’ясуйте, чи можна прибрати дві клітинки з останнього стовпчика так, щоб дошку, яка вийшла, можна було замостити без накладань фігурками, що наведені на рис. 1, які можна повертати. Відповідь обґрунтуйте.

10 клас

1. Дільник натурального числа називається власним, якщо він не дорівнює самому числу та більший за 1. Знайдіть усі такі натуральні числа, у яких найбільший власний дільник на 2017 більше або менше одинадцятого степеня найменшого власного дільника. Відповідь обґрунтуйте.

2. На катеті AC прямокутного трикутника ABC (∠BAC = 90◦) відмічено точку D, таку, що ∠CBD = 30◦. Доведіть, що  CD ≥ 2AD

3. На паперi в клiтинку зi стороною 1 задано замкнену ламану без самоперетинiв. Усi вершини ламаної лежать у вузлах сiтки, а всi її ланки утворюють кут 45◦ з лiнiями сiтки, а площа, яку вона обмежує, дорiвнює 8. З’ясуйте, скiльки вузлiв сiтки може лежати всерединi (не на межi) ламаної? Відповідь обґрунтуйте.

11 клас

1. Розв’яжіть рівняння: 2017^х – 2016^х=1.

2. У трикутнику ABC, ∠ABC = 120^◦. Всередені кута ABC відмічено точки M і N, такі, що AM = BM, BC = MC, BN = CN і BA = NA. Доведіть, що BC = AB.

3. Кожне ціле число на координатній прямій розфарбовано жовтим або синім кольором, причому числа 2016 і 2017 розфарбовано різними кольорами. З’ясуйте, чи обов’язково можна знайти три однаково розфарбованих цілих числа, сума яких дорівнює нулю? Відповідь обґрунтуйте.